หาค่าพายจากการทดลอง

ดร.ราเชนทร์ รัตนโรจนากุล


โดยทั่วไปแล้วเราทราบว่า พาย คือ อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลม ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมของว งกลมนั้น มีค่าประมาณ 3.14159265…… เราสามารถหาค่าพาย จากการทดลองได้ ดังนี้ นำกระดาษขาวแผ่นใหญ่มาหนึ่งแผ่น ลากเส้นขนานหลาย ๆ เส้นบนกระดาษให้มีระยะห่างเท่าๆ กัน 2 นิ้ว (ประมาณความยาวของไม้จิ้มฟัน) ดังรูปที่ 1 วางแผ่นกระดาษลงบนพื้น ยืนห่างจากแผ่นกระดาษนั้นพอสมควร โยนไม้จิ้มฟันไปในอากาศ ให้ไม้จิ้มฟันตกลงบนแผ่นกระดาษ จะสังเกตเห็นไม้จิ้มฟันตกลงบนแผ่นกระดาษในลักษณะต่างๆ กัน เช่น อยู่ในช่องระหว่างเส้นขนาน หรือพาดทับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เราจะบอกตำแหน่งการตกของไม้จิ้มฟันได้จาก ระยะห่างจากจุดกึ่งกลางของไม้จิ้มฟ้นถึงเส้นขนานที่อยู่ใกล้ที่สุดและมุม (q) ที่ไม้จิ้มฟันเอียงทำมุมกับแนวราบดังรูปที่ 2
รูปที่ 1 เส้นขนานบนแผ่นกระดาษ
รูปที่ 2 ตัวอย่างการตกของไม้จิ้มฟัน 3 แบบ
  1. ถ้าจุดกึ่งกลางของไม้จิ้มฟันอยู่ใกล้เส้นขนาน และเอียงทำมุมกับแนวราบเป็นมุมกว้าง ไม้จิ้มฟันจะตัดเส้นขนานนั้น
  2. ถ้าจุดกึ่งกลางของไม้จิ้มฟันอยู่ใกล้เส้นขนาน แต่เอียงทำมุมกับแนวราบเป็นมุมแคบ ไม้จิ้มฟันจะไม่ตัดเส้นขนานนั้น
  3. ถ้าจุดกึ่งกลางของไม้จิ้มฟันอยู่ห่างเส้นขนานมาก แม้จะทำมุมกว้างก็จะไม่ตัดเส้นขนานนั้น
    หรืออาจกล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่า ไม้จิ้มฟันจะตัดกับเส้นขนานเมื่อภาพฉาย (projection) ของครึ่งหนึ่ง ของความยาวไม้จิ้มฟันบนแนวแกนตั้ง มีขนาดมากกว่าครึ่งหนึ่ง ของระยะห่าง ของเส้นขนานสองเส้น ดังรูปที่ 3
รูปที่ 3
แกนนอน คือ มุมที่ไม้จิ้มฟันเอียงกับแนวราบ มีค่า 0 ถึง 90 องศา (p/2)
แกนตั้ง คือ ความยาวของภาพฉายของครึ่งหนึ่ง ของไม้จิ้มฟันบนแนวแกนตั้ง มีค่า 0 ถึง 1 (ในทางตรีโกณมิติ ระยะทางนี้คือ ค่าของ sine นั่นเอง)
จากรูปสามารถคำนวณหาโอกาสที่ไม้จิ้มฟันจะตัดหรือไม่ตัดกับเส้นขนานได้ จากกฏการคำนวณความเป็นไปได้ เราจะได้ว่า

สมการนี้เรียกว่า สูตรของบุฟฟอน (Buffon)
Lazzerini นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ได้ทำการทดลองโดยโยนก้านไม้ขีด (แทนไม้จิ้มฟัน) 3408 ก้าน มี 2169 ก้านที่ตัดเส้นขนานคำนวณหา p ตามสูตรของบุฟฟอนได้

p = 2x(3408/2169) = 3.142461964…..

ซึ่งใกล้เคียงกับค่าจริง ผิดพลาดเพียง 0.027% จะเห็นว่า เราสามารถหาค่าพาย ได้จากการทดลอง โดยที่จำนวนไม้จิ้มฟันที่โยนจะต้องมีมากพอสมควร

บรรณานุกรม
G. Gamow, One Two three….infinity, Bantam Books, Inc., New York, 1972.