Johannes Kepler กับปัญหาเคปเลอร์
สุทัศน์ ยกส้าน
ภาคีสมาชิกราชบัณฑิตยสถาน

โลกรู้จัก Johannes Kepler ในฐานะนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้พบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ซึ่งผลงานชิ้นนี้ ปูพื้นฐานให้ Isaac Newton ได้พบแรงโน้มถ่วงในเวลาต่อมา นอกจากผลงานด้านดาราศาสตร์ ที่ทำให้เขามีชื่อเสียงโด่งดังแล้ว Kepler ยังเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก ที่คิดวิธีหาปริมาตรของรูปทรงตันที่สมมาตร โดยใช้คณิตศาสตร์ด้วย
Johannes Kepler เกิดเมื่อวันที่ 27 ธันวาคม พ.ศ. 2114 ที่เมือง Well der Stadt อันเป็นเมืองเล็กๆ ในเยอรมนี บิดามีอาชีพเป็นนายทหาร มารดาเป็นบุตรสาวของเจ้าของโรงแรมในเมือง เพราะกำพร้าบิดาเมื่ออายุได้ 5 ขวบ เขาจึงตกอยู่ในความดูแล ของมารดาแต่ผู้เดียว Kepler มีสุขภาพไม่แข็งแรง ดังนั้นจึงไม่มีโอกาสรับใช้ชาติ ด้วยการเป็นทหารเช่นพ่อ Kepler มีความสามารถสูงด้านคณิตศาสตร์ จึงไปสมัครเรียนต่อ ที่มหาวิทยาลัย Tubingen ในเยอรมนี เขาใช้เวลา 3 ปี ในการศึกษาศาสนา ดนตรี เรขาคณิต ดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์ ก็สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี
ขณะอยู่ที่ Tubingen เขาได้รับความรู้ด้านดาราศาสตร์ จาก Michael Maestlin ผู้เป็นนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงแห่งยุค ผู้ซึ่งสอนเขาว่า ดวงจันทร์ ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดวงอาทิตย์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ ทุกดวงต่างก็โคจรรอบโลก ตามคำสอนของ Ptolemy Kepler เป็นนักศึกษา ที่เรียนหนังสือเก่ง ทำให้ Maestlin สอนความรู้ดาราศาสตร์ขั้นสูงให้ Kepler ด้วย ซึ่งความรู้ดังกล่าว ได้แก่ ทฤษฎีสุริยจักรวาลของ Nicolaus Copernicus ซึ่งแถลงว่า ดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง ของสุริยจักรวาล ที่มีดาวเคราะห์ต่าง ๆ โคจรไปรอบ ๆ Kepler รู้สึกศรัทธาในความคิดของ Copernicus ยิ่งกว่าPtolemy
Kepler เป็นคนเคร่งศาสนามาก เขาเชื่อว่าหน้าที่ของชาวคริสต์ คือต้องเข้าใจจิตใจ และผลงานของพระเจ้า เพราะพระเจ้าทรงสร้างทุกสิ่งทุกอย่างในจักรวาล ดังนั้นการศึกษาจักรวาล จึงเป็นวิถีทางหนึ่งในการเข้าใจ พระผู้เป็นเจ้า นอกจากเหตุผลนี้แล้ว Kepler ก็ยังมั่นใจอีกว่า พระเจ้าสร้างจักรวาล โดยใช้หลักการและสูตรคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับที่ปราชญ์ Euclid, Plato และ Pythagoras ของกรีกคิด ดังนั้นเขาจึงมุ่งมั่น จะค้นหาความจริงในธรรมชาติ โดยใช้กระบวนการคณิตศาสตร์ช่วย
เมื่อสำเร็จการศึกษาที่ Tubingen Kepler ได้ทำงานเป็นอาจารย์ สอนคณิตศาสตร์ที่ Academy ในเมือง Graz ประเทศออสเตรีย และได้เรียบเรียงตำราชื่อ Mysterium cosmographicum ซึ่งเกี่ยวกับ ปริศนาลึกลับของจักรวาล ออกเผยแพร่ในปี 2139 ในหนังสือเล่มนั้น Kepler ได้ให้เหตุผลว่า เหตุใดทฤษฎีจักรวาลของ Copernicus จึงสมเหตุสมผลยิ่งกว่าของ Ptolemy เช่น ทฤษฎีของ Copernicus สามารถอธิบายได้ว่า เหตุใดเราจึงเห็นดาวพุธและดาวศุกร์ ไม่เคยอยู่ห่างไกลจากดวงอาทิตย์ ในขณะที่ทฤษฎีของ Ptolemy ไม่สามารถอธิบายเหตุการณ์ดังกล่าวได้เลย เพื่อให้ผลงานของเขาเป็นที่ยอมรับ Kepler ได้ส่งหนังสือที่เขาเรียบเรียงนี้ ไปให้ Tycho Brahe นักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด ในสมัยนั้นอ่านด้วย Tycho รู้สึกประทับใจ ในความสามารถ ทางคณิตศาสตร์ ของนักดาราศาสตร์หนุ่ม วัย 29 ปีมาก จึงได้เชื้อเชิญให้ Kepler ไปทำงานเป็นผู้ช่วยวิจัยของเขา ที่หอดูดาวใกล้ปราสาท Benatsky ชานกรุง Prague สองนักดาราศาสตร์ต่างวัย ทำงานร่วมกันได้นาน 22 เดือน Tycho ก็เสียชีวิต จากนั้น Kepler ก็ได้รับการแต่งตั้ง ให้เป็นนักคณิตศาสตร์ ประจำราชสำนักของจักรพรรดิ Rudolph II แทน Tycho และได้รับ “มรดก” ที่เป็นข้อมูลถึง 900 หน้ากระดาษ เกี่ยวกับวิถีโคจร และตำแหน่งของดาวอังคารที่ Tycho สนใจมาก การไม่มีคอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณ และไม่มีตาราง logaritnm ใช้ ทำให้ Kepler ต้องใช้เวลานานถึง 4 ปี จึงสามารถสรุปได้ว่า ดาวอังคารโคจรรอบดวงอาทิตย์ ดังที่ Copernicus คิด และวงโคจรของมัน มิได้เป็นวงกลม แต่เป็นวงรี ที่มีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีนั้น และจากเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับดาวอังคารนี้ Kepler ก็ได้ตั้งกฎข้อที่ 1 ว่า ดาวเคราะห์ทุกดวง (ไม่เฉพาะแต่ดาวอังคาร) โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์ อยู่ที่จุดโฟกัสของวงรีนั้น และกฎข้อที่ 2 ซึ่งแถลงว่า เส้นรัศมีที่ลากจากดวงอาทิตย์ ถึงดาวเคราะห์ จะกวาดพื้นที่ได้เท่ากัน ในเวลาที่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า ขณะที่ดาวเคราะห์อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ มันจะมีความเร็วน้อย แต่ขณะอยู่ไกลมันจะมีความเร็วมาก Kepler ได้แถลงกฎทั้งสองข้อนี้ ในหนังสือชื่อ Astronomia Nova (ดาราศาสตร์ยุคใหม่) ในปี 2148 ซึ่งตรงกับรัชสมัย ของพระเอกาทศรถ
หลังจากเสร็จงานชิ้นสำคัญนี้แล้ว Kepler ได้หันไปสนใจวิชาทัศนศาสตร์ จนเป็นนักวิทยาศาสตร์คนแรก ที่ประสบความสำเร็จ ในการอธิบายการทำงานของกล้องรูเข็ม และการเห็นภาพหัวกลับ ในเลนส์ตาคน และเมื่อเขาได้ข่าว Galileo รายงานการเห็นดวงจันทร์ ของดาวพฤหัสบดี ในปี 2153 Kepler ก็ได้เขียนจดหมาย ไปแสดงความยินดีด้วย

ชีวิตการทำงานของ Kepler ในกรุง Prague ดำเนินไปอย่างราบรื่น จนกระทั่งถึงปี 2154 บุตรอายุ 7 ขวบ ของเขาเสียชีวิต หลังจากนั้นไม่นาน ภรรยาเขาก็เสียชีวิตอีกคน จักรพรรดิ Rudolph II ผู้ทรงอุปถัมภ์ Kepler มาโดยตลอด ก็ต้องสละราชบัลลังก์ เพราะทรงมีพระพลานามัยไม่สมบูรณ์ เมื่อจักรพรรดิ Matthias ทรงขึ้นครองราชย์ พระองค์ทรงมีความคิดด้านศาสนา ไม่ตรงกับ Kepler เขาจึงนำลูกๆ 11 คน ไปอาศัยอยู่ที่เมือง Linz ในประเทศออสเตรีย Kepler ได้แต่งงานใหม่ และขณะที่มีพิธีแต่งงานนั้น เขาได้สังเกตเห็นว่า เหล่าคนใช้ไม่เคยรู้ปริมาตรของเหล้าองุ่นในถัง เขาจึงคิดวิธีคำนวณ หาปริมาตรของภาชนะทรงตัน ที่สมมาตร โดยการสับแบ่งปริมาตรทั้งหมด ออกเป็นชิ้นส่วนเล็กๆ ที่เขาสามารถคำนวณหาปริมาตรได้ จากสูตร กว้าง x ยาว x สูง จากนั้นก็รวมปริมาตรเล็กๆ ทุกชิ้น ทำให้ได้ปริมาตรทั้งหมด ผลงานชิ้นนี้ ปูพื้นฐานให้แก่การสร้างวิชาแคลคูลัส โดย lsaac Newton ในเวลาต่อมา

ในฐานะที่เป็นนักคณิตศาสตร์ประจำราชสำนัก Kepler ต้องพยายามสร้างตารางดาราศาสตร์ โดยอาศัยข้อมูลของ Tycho เขาจึงได้เรียบเรียงตำราดาราศาสตร์ชื่อ Harmonices mundi libri ขึ้นมาในปี 2162 ซึ่งกล่าวถึง ความกลมกลืนอย่างลงตัว ในธรรมชาติ ในหนังสือเล่มนี้ Kepler ได้แถลงกฎใหม่ เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ซึ่งเป็นกฎข้อที่ 3 ว่า กำลังสองของเวลา ที่ดาวเคราะห์ใช้ในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ เป็นปฎิภาคโดยตรง กับกำลังสามของระยะทางเฉลี่ย ที่ดาวเคราะห์ดวงนั้น อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ ในขณะที่ Kepler กำลังค้นคว้าวิจัยดาราศาสตร์นั้น มารดาของเขาถูกกล่าวหาว่าเป็นแม่มด Kepler จึงได้ขอร้องให้เพื่อนของเขา ที่มหาวิทยาลัย Tubingen ช่วย ตัวเขาเองรีบเดินทางไปช่วยมารดา ให้รอดพ้นจากการติดคุก และจากการถูกเผาทั้งเป็นด้วย ในที่สุด Katharina Kepler ก็ได้รับการปลดปล่อย ในสมัยนั้น หน้าที่หนึ่งของนักดาราศาสตร์ คือคำนวณตำแหน่งของดาวต่างๆ แต่เมื่อข้อมูลมีมากเป็นพันหน้า การคำนวณจึงยุ่ง และยาวจนน่าเบื่อหน่าย ดังนั้นเมื่อ Kepler เห็นผลงานเรื่อง logarithm ของนักคณิตศ่าสตร์ชื่อ Napier ที่ตีพิมพ์ในปี 2157 เขาจึงรู้สึกยินดีมาก เพราะเขาสามารถ นำเทคนิคคณิตศาสตร์นี้มาใช้ ในการสร้างตารางดาราศาสตร์ของเขาได้ทันที ในปี 2170 เขาได้ตีพิมพ์ตารางดาราศาสตร์ชื่อ Tabulae Rudolphinae และได้ถวายเป็นราชสดุดีต่อจักรพรรดิ Rudolph ผู้ทรงอุปถัมภ์เขา ตารางนี้เป็นผลงานสำคัญชิ้นสุดท้ายของ Kepler ซึ่งได้ตอกย้ำว่า ความคิดของ Copernicus ถูกต้อง การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ทุกดวง ที่เป็นบริวารของดวงอาทิตย์ เป็นไปตามกฏทั้งสามข้อที่ Kepler พบ

เมื่อ Kepler อายุ 55 ปี เขาได้อพยพจาก Linz กลับไปเยอรมนีอีก และทำงานเป็นโหรประจำตัวนายพล Albrecht von Wallenstein และ เพื่อหารายได้เลี้ยงครอบครัวเพิ่มเติม เขาได้ผูกดวงชะตา ให้แก่ชนชั้นสูง ในสังคมสมัยนั้นด้วย แต่พอเกิดสงครามกลางเมือง ศักดินาชนเหล่านั้น มักไม่จ่ายค่าบริการ ทำให้เงินรายได้ลด Kepler ต้องเดินทางไปทวงหนี้ตามที่ต่าง ๆ ในการเดินทางไปทวงหนี้ ที่เมือง Regensburg ในฤดูหนาวปี 2173 เขาได้ล้มป่วยและเสียชีวิตที่นั่น ศพของเขาถูกฝังที่โบสถ์ St.Peter's ในเมือง แต่สงครามกลางเมือง ได้ทำลายโบสถ์จนสิ้น ทำให้ไม่มีใครรู้ว่า ณ วันนี้ศพของ Kepler อยู่ที่ใด
ถึงแม้ศพจะไร้ร่องรอย แต่กฎของ Kepler ก็ยังคงปรากฏ อยู่จนทุกวันนี้ นอกจากมีผลงานดาราศาสตร์ที่โด่งดังแล้ว Kepler ก็มีผลงานด้านคณิตศาสตร์ ที่ยิ่งใหญ่พอสมควรด้วย เพราะการคาดการณ์ของ Kepler เกี่ยวกับวิธีการจัดเรียงทรงกลมลงภาชนะ ให้ได้หนาแน่นที่สุดนั้น ต้องใช้เวลานานถึง 392 ปีจึงมีผู้พิสูจน์ได้สำเร็จ ความจริงความคิดที่จะจัดเรียงทรงกลม ที่มีขนาดเท่ากัน ให้อยู่กันหนาแน่นที่สุดนั้น ได้ถือกำเนิดเมื่อ Sir Walter Raleigh นายทหารในสมเด็จพระนางเจ้า Elizabeth ที่ 1 แห่งกรุงอังกฤษ ได้ถาม Thomas Hariot ว่า หากกำหนดขนาดของกล่องมาให้ นักคณิตศาสตร์มีวิธีบรรจุกระสุนปืนใหญ่ให้ได้จำนวนมากที่สุดหรือไม่ เมื่อ Hariot คิดไม่ออก เขาจึงเขียนจดหมายไปถาม Kepler
Kepler ได้ทดลองจัดเรียงทรงกลม ในรูปแบบต่าง ๆ เช่น จัดวางทรงกลมลูกหนึ่ง ให้ห้อมล้อมด้วยทรงกลมอื่น ๆ อีก 6 ลูก (แบบเดียวกับที่วางลูกแดง เวลาเริ่มเล่นบิลเลียด) ในชั้นล่างสุด แล้วในการจัดวางชั้นที่ 2 เขาได้วางทรงกลมลง ตรงบริเวณที่เป็นร่อง ระหว่างทรงกลมในชั้นล่างจนเต็มชั้น (ลักษณะเดียวกับที่แม่ค้า เรียงส้มเขียวหวานในตลาด) จากนั้นก็จัดชั้นที่ 3 ในลักษณะเดียวกัน Kepler พบว่า การจัดเรียงทรงกลม ในลักษณะพีระมิดเช่นนี้ ซึ่งนักคณิตศาสตร์มีศัพท์เทคนิคว่า จัดแบบ face-centered cubic lattice จะทำให้ที่ว่าง ระหว่างทรงกลมเท่ากับ 25.952 เปอร์เซ็นต์ ของปริมาตรทั้งหมด
แต่ถ้าเขาวางแบบ simple cubic lattice ซึ่งเป็นการจัดเรียงทรงกลมแต่ละลูก ให้อยู่ที่มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว ในการจัดชั้นที่ 2 ถ้าเขาวางทรงกลมใหม่ ซ้อนทับบนทรงกลมเก่า โดยให้จุดศูนย์กลางของทรงกลมใหม่ อยู่เหนือศูนย์กลางของทรงกลมเก่า ในแนวดิ่งพอดี การจัดเรียงแบบนี้ จะทำให้เกิดที่ว่าง 47 เปอร์เซ็นต์
เพราะการจัดเรียง มีอสงไขยรูปแบบ ทั้งที่เป็นระเบียบ และสะเปะสะปะ ปัญหาก็มีว่า การจัดรูปแบบใด จึงจะทำให้ทรงกลม อยู่กันอย่างหนาแน่นมากที่สุด
เมื่อเผชิญกับปัญหาที่มีอสงไขยรูปแบบเช่นนี้ Kepler จึงเสนอการคาดการณ์ (conjecture) ว่า ในการจัดเรียงทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันการจัดเรียงแบบพีระมิดเป็นการจัดเรียงที่มีประสิทธิภาพที่สุด เพราะมีที่ว่างน้อยที่สุด
นี่เป็นเพียงการคาดการณ์ที่อาจผิดหรือถูกก็ได้ ดังนั้นในการจะรู้ความจริง นักคณิตศาสตร์ต้องพิสูจน์
ในความพยายามจะพิชิตปัญหา Kepler นี้ นักคณิตศาสตร์ได้ทุ่มเทความพยายาม พิสูจน์กันมานานหลายศตวรรษแล้ว แต่ก็ไม่มีใครประสบความสำเร็จ เช่นในปี 2435 Axel Thue ได้พิสูจน์ปัญหา Kepler ในสองมิติ ซึ่งเป็นการจัดทรงกลมในถาด แทนที่จะจัดในกล่องสามมิติ เขาพบว่า การจัดแบบให้ทรงกลมลูกหนึ่ง ห้อมล้อมด้วยทรงกลม ที่มีขนาดเท่ากัน 6 ลูก (แบบ hexagond) เป็นการจัดที่มีประสิทธิภาพสูงที่สุด
ในปี 2533 Wu-Yi Hsiang แห่งมหาวิทยาลัย Califomia ที่ Berkeley ได้ทำให้ วงการคณิตศาสตร์ตกตะลึง เมื่อเขาแถลงว่า เขาสามารถแก้ปัญหา Kepler ได้ แต่แล้วเมื่อรายงาน 100 หน้า ที่ลงพิมพ์ในวารสาร Inter-national Joumal of Mathematics ได้รับการตรวจสอบ ก็พบที่ผิด และการอ้างที่เลื่อนลอยมากมาย ทำให้บทพิสูจน์ของ Hsiang ไม่เป็นที่ยอมรับ
ในปี 2541 Thomas Hales แห่งมหาวิทยาลัย Michigan ที่ Ann Anbor สหรัฐอเมริกา ได้ทำให้โลกตื่นใจอีก โดยการอ้างว่า เขาสามารถพิสูจน์ได้ว่า การคาดการณ์ของ Kepler คือความจริง งานวิจัยที่ยาว 250 หน้าถูกส่งไปลงพิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics ซึ่งเป็นวารสารคณิตศาสตร์ชั้นนำสุดของโลก ทันที่ที่ได้รับต้นฉบับ กองบรรณาธิการวารสาร ได้แต่งตั้งคณะกรรมการตรวจสอบ และประเมินความถูกต้องสมบูรณ์ของงานวิจัย ถึง 12 คน (บทความวิจัยทั่วไปใช้กรรมการประเมินไม่เกิน 3 คน)
ตลอดเวลาที่ผ่านไป 4 ปี คณะกรรมการทั้ง 12 คน ต้องทำงานหนักมาก เพราะต้องตรวจสอบความถูกต้อง และความมีเหตุผล ของบทพิสูจน์ทุกบรรทัด และทุกสมการ แล้วก็ได้ลงมติสรุปว่า งานวิจัยของ Hales ถูกต้องที่ระดับความเชื่อมั่น 99 เปอร์เซ็นต์ ส่วนอีก 1 เปอร์เซ็นต์ที่เหลือนั้น คณะผู้เชี่ยวชาญ ซึ่งมี Gabor Fejes Toth แห่ง Alfred Renyi Institute of Mathematics ที่กรุง Budapest ประเทศฮังการีเป็นหัวหน้า มิสามารถตรวจได้ เพราะ Hales ใช้คอมพิวเตอร์ในการพิสูจน์ตลอดเวลา ทำให้สมองนักคณิตศาสตร์ มิสามารถตรวจสอบ การทำงานทุกขั้นของคอมพิวเตอร์ได้ ดังนั้นวารสาร Annals of Mathematics จะตีพิมพ์งานวิจัยของ Hales ในต้นปี 2547 นี้ Hales ไม่พอใจ 100 เปอร์เซ็นต์ กับมติของคณะกรรมการประเมิน เพราะเขามีแนวคิดว่า วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีคณิตศาสตร์ มีได้หลายวิธี และคอมพิวเตอร์ก็เป็นวิธีหนึ่ง ที่นักคณิตศาสตร์ อาจใช้ในการพิสูจน์ได้ และถ้าเทคนิคทั้งหลาย ให้คำตอบที่ตรงกัน วงการคณิตศาสตร์ก็ควรยอมรับ ในเทคนิคเหล่านั้นด้วย แต่ถ้าให้คำตอบที่ต่างกัน Hales คิดว่าคนส่วนใหญ่เชื่อ และไว้วางใจคอมพิวเตอร์ ดังนั้นเราก็หวังว่าวันหนึ่งในอนาคต คงมีนักคณิตศาสตร์ ที่สามารถแก้ปัญหาเคปเลอร์ได้ โดยใช้เทคนิคคณิตศาสตร์บริสุทธ์ ว่าที่ Kepler คาดการณ์ไว้นั้น คือความจริง และเมื่อวันนั้นมาถึง พ่อค้า แม่ค้าขายส้ม ขายแตงโม ก็คงสบายใจได้ว่า กรรมวิธีที่เขาจัดเรียงผลไม้ แบบพีระมิดนั้น เป็นวิธีที่ประสิทธิภาพสูงสุดในจักรวาล